ふら式(fla shiki)

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Fermatのあれこれ

Fermatの最終定理で有名なFermatですが、他にも色々な定理を残してくれていて類体論という分野に繋がっていたりします(僕はまだ類体論を勉強していないので何もいえませんが……)。

 

Thm 1) Fermatの最終定理

n\in\mathbb{Z} として 

n\ge3 \Rightarrow x^{n} + y^{n} = z^{n}をみたすnは存在しない

 

Fermatの最終定理を示すのはとても難しいので、今日から彼がメモに書き残したという定理をいくつか紹介したいと思います。今回は準備の途中で終わってしまいます。適当に読み飛ばしてください。

 

Thm2)

p\ \equiv\ 1 (mod 4) \Rightarrow\ \ p = x^{2} + y^{2}をみたすx,y\in\mathbb{N}が存在する

 

これを証明するのにいくつか言葉を定義します

 

Def 3) ガウスの整数環

\mathbb{Z}[i]\ =\ \{a+bi\ :\ \ a,b\in\mathbb{Z}\}ガウスの整数環という

 

環ってなんやねんって人は足し算と引き算とかけ算ができる数の集まりとでも思ってください。

 

Def 4)単項イデアル整域

Rを環とする

Rが整域で、かつRの任意のイデアルが単項イデアルのとき、Rは単項イデアル整域であるという

 

上に「環がわからない人は〜」みたいに書いておいていきなりこんな定義を書くのもアレですが面倒なのでイデアルの定義とかすっ飛ばします……(定義自体は難しくないので適当に調べてください。一番簡単な例として整数全体\mathbb{Z}があります。)

 

 

Prop 5)

ガウスの整数環は単項イデアル整域である

 

証明は適当な代数学の本読んでください(投げやり)

 

次に素元分解というものを定義します。中学生か高校生の時に素因数分解というものを習いますが、素元分解は素因数分解\mathbb{Z}で行おうというものです。

 

先に例を挙げておきます。

5\mathbb{Z}だと素数なのでこれ以上分解できません。ですが\mathbb{Z}[i]だと

5=(2+i)(2-i)と分解できます。ちゃんと2+i2-i\mathbb{Z}[i]の元ですね。17や29でも試してみてください。

 

Def 6)

Rを単項イデアル整域とする

0でないa,b\in Rに対して(a) = (b)のときabは同伴であるという

 

と今日はここまでにしておきます。次で素元、素元分解を定義していこうと思ってます。

まだTeX使って書くの慣れてないんでそっちも勉強しつつ……